عدد گُنگ، یا عدد اصم، هر عدد حقیقی است که گویا نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است.
اعداد گنگ (Irrational numbers)
یونانیان به اعداد و روابط آنها با پدیدههای جهان طبیعت اعتقاد بسیاری داشتهاند، تا آنجا که فیثاغورث و طرفدارانش ادعا میکردند که اعداد سازنده جهان هستند و هر چیزی با عدد قابل بیان است. یکی از دلایل فروپاشی مکتب فیثاغورثیان این بود که هنگتمی که میخواستند معروفترین قضیه خود را(قضیۀ فیثاغورث) بیان کنند با این پرسش مواجه میشدند که اگر طول هر یک از ضلعهای مجاور زاویۀ قائمه برابر واحد باشد، طول وتر چه عددی میشود؟ و فیثاغورثیان که ادعا میکردند اعداد سازنده جهان طبیعت هستند، حال نمیتوانستند آن عدد را بیان کنند.
تعریف: m عددی گنگ(اصم) است وقتی که هیچ کسری به صورت که a,bϵℤ وجود نداشته باشد که برابر m شود.
نشان میدهیم که عددی گنگ است.
اثبات به برهان خلف: فرض میکنیم عددی گویا است، پس اعدادی مانند a و b وجود دارند بطوریکه و .
طرفین تساوی را به توان 2 میرسانیم پس و بنابراین a2=2b2 یعنی a2 عددی زوج است و چون توان دوم هر عدد فردی، فرد است، پس a زوج است و میتوان فرض کرد a=2k و بنابراین 4k2=2b2 که نتیجه میدهد b2=2k2 ، یعنی b2 و در نتیجه b زوج است. پس a و b اعدادی زوج شدند و دارای حداقل یک مقسوم علیه مشترک (یعنی 2 ) هستند که با فرض اولیه که (a,b)=1 در تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است، یعنی عددی گنگ است.
نشان میدهیم که اگر a=p+1 که در آن p یک عدد گنگ است آنگاه عدد a نیز گنگ است.
اثبات به برهان خلف: فرض کنیم a گنگ نیست، پس گویاست.
تساوی یگ عدد گویا و یگ عدد گنگ ناممکن است → a-1=p → چون اعداد گویا نسبت به تفریق بستهاند پس a-1 گویاست→ a-1=p → a=1+p
و این یک تناقض است، پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است.
رسمپذیر بودن اعداد گنگ:
عدد a را رسمپذیر گویند هرگاه بتوان با استفاده از خطکش و پرگار پارهخطی به طول a رسم کرد. حال آیا رسم پذیر است.
میدانیم که از هر نقطه خارج یک خط مفروض میتوان خطی عمود بر آن رسم کرد. اگر محل تلاقی این دو خط را در مبداء در نظر میگیریم، به این محور رسمپذیر گوییم. در این محور داریم:
1)(a.0) و یا (0,a) را رسمپذیر گوییم هرگاه a رسمپذیر باشد.
2) (a,b) را رسمپذیر گوییم هرگاه a,b رسمپذیر باشند.
3) هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد؛ اعم از پارهخط، دایره و ... یک شکل رسمپذیر گوییم.
حال میتوانیم نشان دهیم که رسمپذیر است. چون اگر (0,1) و (1,0) را روی محور به هم وصل کنیم بنا بر قضیۀ فیثاغورث پارهخطی به طول داریم.(تنها عددی که ممکن است رسمپذیر نباشد عدد گنگ است.) تعیین اینکه عدد گنگی رسمپذیر است یا خیر به معلومات و تکنیکهای ویژهای نیاز دارد که در مقاطع بالاتر مانند جبر 2 ارائه میشود.
برای ساخت یک عدد گنگ کافیست بسط اعشاری این عدد، هیچ دوره تناوب یا دوره تکراری نداشته باشد. به این ترتیب میتوان بینهایت عدد گنگ ساخت.
در ریاضیات این گزاره که "هر عددی که گویا نباشد `گنگ است´ صخیخ نیست. اعدادی نیز وجود دارند که نه گویا هستند و نه گنگ. مانند " اعداد بینهایت کوچک". چند مثال از اعداد گنگ: , , e , π , g و ... .
بسط دهی یک عدد گنگ نشان میدهد که دارای ویژگیهایی میباشند:
1)بیپایان هستند.
2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان میدهند.
چند اصل در مورد اعداد گنگ:
1)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.
2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.
3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.
قضیۀ هورویتز (Hurwitz theorem) :
هر عددی دارای تقریبهای "گویای" بینهایتی به شکل است که در آن تقریب دارای خطایی کمتر از است.
طبقه بندی اعداد گنگ: اعداد گنگ را با توجه به چگونگی سختی محاسبهاشان از طریق "تقریب" با اعداد گویا طبقهبندی کردهاند. به عبارت دیگر یک عدد گنگ از عدد گنگ دیگر، گنگتر است. به عنوان مثال عدد دارای تقریب بهتری نسبت به عدد است، پس گنگتر از π است.
گنگترین عدد گنگ عددی است که قبلا در هندسه شناخته شده است و به عدد گنگ طلائی g (Golden mean) مشهور است.
عدد g جواب معادله x2-x+1=0 است. عدد گنگ طلائی عبارت است از " قطر یک پنج ضلعی با اضلاع برابر یک". گنگی بسیار بالای این عدد باعث کاربردش در هند است که هنوز علت آن مشخص نیست. این عدد نقش مهمی در مباحث "زیباشناسی ریاضی" دارد.
عدد π: عدد π را نسبت به محیط دایره به قطر آن تعریف میکنند. در سال 1761 لامبرت (Lambert) ریاضیدان سوئدی ثابت کرد که عدد π گنگ است. همچنین لایدمن (Lindeman) ثابت کرد که عدد π یک عدد جبری نیست یعنی نمیتواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند.
اولین بار به طور رسمی ارشمیدس روشی را برای محاسبۀ تقریبی عدد π بیان کرد:
این کشف که عدد π یک عدد گنگ است به سالها تلاش ریاضیدانان برای تربیع دایره پایان داد.
عدد e: اویلر ثابت کرد e عددی گنگ است و دارای" کسرهای مسلسل" نامحدود ساده است. ژوزف لیدویل ثابت کرد e جواب "معادله درجه دوم با ضرایب صحیح" نیست. همچنین چارلز هرمیت (Charles Hermite) ثابت کرد عدد گنگ e، عددی غیر جبری است.
اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است. جورج کانتور (George Cantor) ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بینهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.
تابع درخت کریسمس: تابع f را بر با ضابطۀ در نظر میگیریم.
fتابعی است که مجموعه نقطههای ناپیوستگی آن اعداد گویای بازه و نقاط پیوستگی آن اعداد گنگ بازه هستند. نامگذاری این تابع به خاطر شباهت شکل این تابع با درخت کریسمس است.
اعداد گنگ و رشد گیاهان: ردیابی شاخکهای میوۀ کاج نشان میدهد، آنها یکی یکی از قسمت پایینی اضافه میشوند. زاویۀ بین یک شاخک با دیگری، همیشه یکسان است! این فرض معقول است که معمولا موثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیفتد که این زاویه تا آنجا که ممکن است عددی گنگ باشد. به همین خاطر است که در طبیعت زاویههای گنگ فراوان دیده میشود.
محمد زرقانی
برگرفته از دانش‌نامه‌ی آزاد ویکی‌پدیا
معادله خط
معادله ی خطی به صورت y=mx در نظر می گیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه ای با مختصات صحیح عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطهای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند. حال به جای m قرار می دهیمφ. یعنی خط y=φx را در نظر می گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه ای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه هایی را با x و y صحیح در نظر می گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می رسد نقطه ی (۱،۱) کمترین فاصله را با این خط دارد. ولی فاصله ی نقطه ی (۲،۱) از این خط کمتر است. نقطه ی (۳،۲) فاصله ی کمتری با این خط دارد. همچنین فاصله ی نقطه ی (۵،۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطه ی بعدی را که فاصله شان از این خط کمتر می شود را می بینید:
. . . ، (۵،۳۴) ، (۳۴،۲۱) ، (۲۱،۱۳) ، (۱۳،۸) ، (۸،۵) ، (۵،۳) ، (۳،۲) ، (۲،۱) ، (۱،۱)
ریاضیات بدون قطعیت!!!
۱- شاید اولین عدد گنگی که بشر کشف کرد ۲√ بوده باشد.کشف این عدد منتسب به فیثاغورثیان(شاگردان فیثافورث) است و گفته میشود در رقابتهای علمی که در آن زمان بین گروههای مختلف درجریان بود این عدد نقش یک برگ برنده بزرگ را برای فیثاعورثیان ایفا کرد.این عدد طول قطر مربعی به ضلع یک میباشد که براحتی از رابطه ی فیثاعورث(a^2 + b^2 = c^2) بدست می آید.در ریاضیات کلاسیک هم ۲√ رایج ترین گزینه برای اثبات وجود اعداد گنگ است.در واقع ثابت میشود که عدد گویایی موجود نیست که به توان 2 برابر با 2 شود.اهمیت کشف اعداد گنگ در آنجا بود که نوعی عدم قطعیت به ریاضیات میداد بدین معنا که برخلاف ذات ریاضی یعنی قطعی بودن آن در عمل اعداد گنگ را نمیتوان بطور قطعی بیان کرد مثلا بسط اعشاری همین عدد ۲√ نامختوم و غیر تکراریست و برای نمایش آن مجبوریم به چند رقم اعشار آن اکتفا کنیم و بقیه را نادیده بگیریم مثلا بنویسیم 1.4142=۲√
2- یکی دیگر از اعداد گنگ مهم و تاریخی عدد پی( 3.1415 = ∏ ) میباشد.بازهم پای عدم قطعیت به میان می آید.شما دایره ای به قطر یک رسم میکنید اما محیط این دایره عدیدیست با بسط اعشاری بی انتها و غیر تکراری!!! عدد پی در بسیاری از معادلاتی که با نوسان و تناوب سر و کار دارند ظاهر می شود. بنا به شواهد تاریخی نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (3.125) و مصریان(3.1604) در 1900 سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است.همچنین در متون هندی این عدد 3.139 تقریب زده شده که حدودا تا دو رقم اعشار صحیح است. اولین کسی که عدد پی را با دقت قابل قبول تخمین زد ارشمیدس در قرن سه قبل از میلاد بود.او به کمک روش تقریب دایره با چند ضلعی های منتظم و به کمک 96 ضلعی منتظم عدد پی را 3.1519 تخمین زد که تا سه رقم اعشار صحیح است.همیچنی دانشمندی چینی بنام زو چانگ ژی در قرن 5 میلادی عدد پی را 3.14159292 محاسبه کرد که تا 6 رقم اعشار صحیح است.تا هزاره دوم میلادی کمتر از ده قم اعشار عدد پی بطور صحیح محاسبه شده بود(به کمک عدد پی تا 11 رقم اعشار میتوان محیط کره زمین را با دقت میلیمتر تخمین زد!!!) رفته رفته و با پیشرفت ریاضیات و ابداع روش سریهای نامتناهی تخمین های بهتر و بهتری برای عدد پی بدست آمد بطوریکه امروزه با استفاده از کامپیوترهای شخصی میتوان این عدد را تا میلیاردها رقم اعشار صحیح تخمین زد!!!
3- پرکاربردترین عدد گنگی که بشر تا بحال کشف کرده عدد نپر( 2.7182 = e) است.کشف این عدد منتسب به جان نپر(John Napier) دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است.البته اهمیت این عدد بیشتر مرهون کارهای لئونارد اویلر(Leonhard Euler) دانشمند سوییسی است.چه بسیاری نیز معتقدند انتخاب حرف e برای عدد نپر بخاطر اولین حرف از نام خانوادگی اویلر بوده است.البته عده ای نیز میگویند این حرف نخستین حرف کلمه ی نمایی(exponential) است.در واقع توابع نمایی بصورت f(x)=a^x هستند و در بین تمام اعداد حقیقی ممکنی که میتوانند بجای a قرار گیرند عدد نپر تنها عددییست که باعث میشود تابع نمایی در نقطه صفر دقیقا شیبی برابر با یک داشته باشد(مشتق تابع e^x برابر است با e^x و لذا شیب این تابع در صفر برابر است با e^0=1) عدد نپر در جاهای دیگر هم ظاهر میشود.مثلا فرض کنید در بانک مبلغ یک دلار قرار داده اید و بانک به شما 100درصد سود در سال پرداخت میکند یعنی در پایان سال شما دو دلار خواهید داشت(n=1)حال اگر بانک بجای صد در صد در سال شش ماه اول 50 درصد سود پرداخت کند(یک و نیم دلار در پایان شش ماه)و در شش ماه دوم نیز 50 درصد سود پرداخت کند(به ازای یک و نیم دلار پس انداز شما)در پایان سال 1.5+0.75=2.25 دلار خواهید داشت(n=2)اگر این بار بانک هر سه ماه یک بار به شما 25 درصد سود پرداخت کند در پایان سال مبلغ 1.25+0.3125+0.390625+0.488281=2.44141 در حساب خود خواهید داشت (n=4) اگر این روند ادامه پیدا کند یعنی بانک در تعداد دفعات بیشتری به شما سود کمتری پرداخت کند و این تعداد دفعات یعنی n به بینهایت میل کند شما در پایان سال به اندازه 2.7182 = e دلار در بانک خواهید داشت!!! همچنین اگر احتمال برنده شدن شما در یک بازی n^ -1 باشد و شما این بازی را n بار انجام دهید و n به سمت بینهایت میل کند احتمال اینکه شما هر n بازی را ببازید برابر است با e^ -1
نکات اصلی:
- اعداد گویا و اعداد گنگ (اصم) را تعریف کنید.
- معرفی چند عدد گنگ به وسیله بسط اعشاری آنها:
اعداد زیر همگی اعداد گنگ هستند (چرا؟) :
به همین ترتیب می توان بی نهایت عدد گنگ ساخت (تنها کافیست بسط اعشاری این عدد هیچ دوره ی تناوب یا دوره ی تکراری نداشته باشد). بنابر این فقط اعداد گنگ نیستند.
- اعداد را فقط با استفاده از خط کش و پرگار روی خط اعداد حقیقی مشخص کنید. (آیا می توانید به همین وسیله «عدد پی» را روی خط اعداد حقیقی مشخص کنید؟!)
شاید این متن تکراری باشد!!
عدد گُنگ، یا عدد اصم، هر عدد حقیقی است که گویا نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری که صورت و
مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است.
یونانیان به اعداد و روابط آنها با پدیدههای جهان طبیعت اعتقاد بسیاری داشتهاند، تا آنجا که فیثاغورث و طرفدارانش ادعا میکردند که اعداد سازنده جهان هستند و هر چیزی با عدد قابل بیان است. یکی از دلایل فروپاشی مکتب فیثاغورثیان این بود که هنگتمی که میخواستند معروفترین قضیه خود را(قضیۀ فیثاغورث) بیان کنند با این پرسش مواجه میشدند که اگر طول هر یک از ضلعهای مجاور زاویۀ قائمه برابر واحد باشد، طول وتر چه عددی میشود؟ و فیثاغورثیان که ادعا میکردند اعداد سازنده جهان طبیعت هستند، حال نمیتوانستند آن عدد را بیان کنند.
بسط دهی یک عدد گنگ نشان میدهد که دارای ویژگیهایی میباشند:
1)بیپایان هستند.
2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان میدهند. این یک عدد گویاست و تکرار رقم وجود دارد.
این عدد گنگ است و تکرار رقم وجود ندارد.
چند اصل در مورد اعداد گنگ:
1)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.
2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.
3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.
اعداد گنگ و رشد گیاهان: ردیابی شاخکهای میوۀ کاج نشان میدهد، آنها یکی یکی از قسمت پایینی اضافه میشوند. زاویۀ بین یک شاخک با دیگری، همیشه یکسان است! این فرض معقول است که معمولا موثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیفتد که این زاویه تا آنجا که ممکن است عددی گنگ باشد. به همین خاطر است که در طبیعت زاویههای گنگ فراوان دیده میشود.
اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است. جورج کانتور (George Cantor) ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بینهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
در اين زنگ تفريح ضمن تعريف انواعي از اعداد، قضيه‌‌اي با عنوان «هور ويتز» (Hurwitz' Theorem) را بيان خواهيم كرد. در ادامه چند عدد «گنگ» را معرفي كرده و كاربردي از آن را در طبيعت نشان خواهيم داد. در پايان، مطالبي در تعريف عدد «گنگ» e و قضايايي از آن مطرح خواهد شد.
اهداف آموزشي |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
«اعداد» را مي‌توان به دسته‌هاي مختلفي نظير ذيل تقسيم كرد:
عدد «گويا» (Rational) عددي حقيقي است كه بتوان آن را به‌صورت كسري از دو عدد صحيح (نظير: و ) نوشت به‌عبارت ديگر داشته باشيم:
در رياضيات اين گزاره صحيح نيست كه: «هر عددي «گويا» نباشد «گنگ» است». اعدادي نيز وجود دارند كه نه «گويا» هستند و نه «گنگ» نظير: اعداد بي‌نهايت كوچك. اگر بخواهيم از اعداد «گنگ» مثال بزنيم مي‌توانيم به مواردي نظير ذيل اشاره كنيم:
بسط دهدهي يك عدد «گنگ» نشان مي‌دهد كه داراي ويژگي‌هايي نظير ذيل هستند:
مي‌توان اصل‌هايي نظير ذيل را دربارهي اعداد «گنگ» (Irrational) و «گويا» (Rational) اثبات كرد:
اعداد «مختلط» زوج‌هاي از دو عدد حقيقي هستند. توسعه‌ي نظريه‌ي اعداد «مختلط» از آنجا ناشي شد كه رابطهي ساده‌ي ذيل در مجموعه‌ي اعداد حقيقي حل‌نشدني به‌نظر مي‌آمد: (رابطهي 2) در مجموعه‌ي اعداد «مختلط» رابطهي 2 داراي دو جواب است:
بقيهي اعداد «مختلط» از جمع اين عدد جديد با مجموعه‌ي اعداد صحيح به‌دست مي‌آيد. هم‌چنين لازم است به‌كار بردن عمليات حسابي معمول (جمع، تفريق و ضرب) و همه‌ي قوانين شناخته شده براي آن، جهت توسعه‌ي مجموعه‌ي اعداد «مختلط» بديهي فرض شود. بدين‌ترتيب اصطلاحاً گفته مي‌شود مجموعه‌ي اعداد «مختلط» نسبت به عمليات حسابي معمول، «بسته» است. اعداد «مختلط» ويژگي‌هاي غيرمعمولي را به‌خصوص هنگام مشتق‌گيري از خود نشان مي‌دهند:
هر عدد «مختلط» از يك زوج عدد حقيقي نظير: تشكيل شده است. در اين زوج، «قسمت حقيقي» و «قسمت موهومي» ناميده مي‌شود.
بدين‌ترتيب بين «قسمت حقيقي» و «قسمت موهومي» تفاوت محسوسي قايل مي‌شوند. اما به هر حال موقعيت‌هايي وجود دارد كه كلمه‌ي «موهومي» توصيف‌هاي مناسبي از آن موقعيت‌ها را فراهم مي‌كند. در صفحه، مجذور فاصله‌ي بين دو نقطهي و به‌صورت ذيل بيان مي‌شود:
اين عدد طبق «قضيه‌ي فيثاغورث» عددي كاملاً «طبيعي» است. پس دايره‌اي با شعاع به‌مركز از نقطهي مي‌گذرد به‌گونه‌اي كه داشته باشيم:
به‌عبارت ديگر داريم:
اين معادله‌اي از يك دايرهي حقيقي در صفحه‌اي حقيقي (شامل: اعداد «مختلط») است به‌عنوان مثال: شكلي است كه توسط يك پرگار كشيده مي‌شود. بنابراين رياضيدانان در رابطهي متوقف نشده‌اند بلكه مسأله‌ي مهم در اين رابطه، علامت عدد 1 در اين رابطه است. رابطهي جديد مبدأي براي كشف‌هايي در 250 سال اخير شده است. در ادامه‌ي حالت‌هاي غيرمعمول، رياضيدانان تنها بر تغيير علامت‌‌هاي رابطهي 7 متوقف نشدند. از آن‌جايي كه داريم:
آنها رابطهي ذيل را نتيجه گرفتند:
اين رابطه واقعاً مربوط به يك دايرهي تصوري است كه داراي يك مركز واقعي با شعاع است. علاوه بر اين، ممكن است گفته شود معادله‌ي 9 شامل چندجمله‌اي داراي جواب‌هاي واقعي يا جواب‌هاي «مختلط» نيست. اما به هر حال براي سادگي دايره‌اي به مركز مبدأ مختصات درنظر مي‌گيريم لذا داريم:
واضح است كه رابطه‌هاي 9 و 10 داراي جواب‌هايي است. به‌عنوان مثال، زوج در رابطهي 10 صدق كرده شايد واقعاً يك عدد «موهومي» ناميده شود.
هر عددي نظير: حداقل بر 1 و بخش‌پذير است. جمع همه‌ي مقسوم‌عليه‌هاي عدد با نماد نشان داده مي‌شود. اگر رابطهي ذيل را داشته باشيم:
كه در آن همگي «عدد اول» باشند، عدد «كامل» (Perfect) است اگر برابر جمع مقسوم‌عليه‌هاي عدد شامل 1 (به‌استثناي ) باشد. به‌عبارت ديگر عددي «كامل» (Perfect) است اگر داشته باشيم:
(رابطهي 12) به‌عكس اگر عددي «كامل» نباشد دو حالت ممكن است وجود داشته باشد:
به‌عنوان مثال:
هم‌چنين داريم:
بنابراين 8 و 15 اعداد «ناكامل» هستند.
به‌عنوان مثال: 12 عددي «وافر» است زيرا داريم:
«لئونارد اويلر» (Leonard Euler) در مقاله‌اي كه پس از مرگش منتشر شد نشان داد كه هر عدد «كامل» زوج داراي شكل اقليدسي است. اين در حالي است كه وي در 18 سال آخر زندگي‌اش رنج نابينايي را متحمل مي‌شد. بنابراين محتملاً اين نتيجه مربوط به زمان قبل از نابينايي‌اش بوده است. بنابراين اولين عدد «كامل» 6 و عدد بعد از آن 28 است زيرا داريم:
بعد از آن مي‌توان از اعداد 496، 8128 و ... نام برد. پنجمين عدد «كامل» 33550336 است كه توسط محققي به‌نام «هودالريكس رجيوس» (Hudalrichus Regius) حدود 500 سال قبل به‌عنوان عدد «كامل» معرفي شد.
اعداد «سورئال» (Surreal) توسط محققي به‌نام «جان كانوي» (John Conway) همراه با چيزهاي ديگر در حين طراحي «بازي زندگي» (Game of Life) كشف شد. محققي به‌نام «دونالد كنوث» (Donald Knuth) در بروشوري با عنوان: «اعداد سورئال» (Sureal Numbers) طي مقدمه‌اي اعداد مذكور را چنين توصيف كرده است:
اعداد «مربعي» (Square) هركسي مي‌داند چگونه «مربع يك عدد» را محاسبه كند به‌خصوص وقتي عدد مذكور خيلي بزرگ نباشد. به‌عنوان مثال: و ... اما راستي چرا عمليات «ضرب يك عدد در خودش»، «مربع» آن عدد ناميده مي‌شود؟ علت آن را مي‌توان از شكل 1 دريافت.
يك مربع با ضلع مي‌تواند شبكه‌اي شامل تعداد از مربع‌هايي متصور شود كه هر مربع داراي اندازهاي معادل باشد.
وجه تسميه‌ي اعداد «مثلثي» به‌علت شباهت ساختار آنها به «مثلث» است. اعداد «مثلثي» شامل اعدادي نظير ذيل هستند: 1، 3، 6، 10، 15 و ... فرمول عمومي براي هر عدد «مثلثي» عبارت است از:
عدد «مثلثي» است و تعداد نقطه‌هايي را نشان مي‌دهد كه در شكلي مثلثي با ضربدر نظير شكل 2 قرار گرفته‌اند.
البته لازم است ثابت شود تعداد كل ضربدرها كه در شكل 2 نشان داده شده از رابطهي 19 محاسبه مي‌شود. اما به هر حال مشاهده مي‌كنيم كه تعداد ضربدرها در هر مثلث از جمع اعداد طبيعي به‌دست مي‌آيد:
براي اثبات اين رابطه از شكل 3 استفاده مي‌كنيم:
به‌علاوه دو مثلث با ضربدر در هر ضلع، «مستطيلي» با ضربدر تشكيل خواهند داد. ممكن است سؤال شود مگر با نقطه‌گذاري در شكل مي‌توان چيزي را ثابت كرد. البته جواب منفي است بلكه شكل در درك و تشخيص اثبات كمك مي‌كند. به‌علاوه به‌طرق ديگري نيز براي اثبات اين مطلب وجود دارد. اين جمع بيانگر تعداد ضربدرها در يك «مثلث» است. دو مثلثي كه با زاويه‌ي 180 درجه دوران كرده مجموعاً تشكيل يك مستطيل مي‌دهند. در هر رديف به‌تعداد مساوي ضربدر وجود دارد. در اولين رديف اگر ضربدر وجود داشته باشد در رديف دوم ضربدر و در رديف ...، ... ضربدر و ... وجود خواهد داشت. بدين‌ترتيب در رديف‌ها به‌صورت كاهشي تعداد ضربدر خواهيم داشت. براي اثبات از طريق جبري، دو جمع را به صورت ذيل در نظر مي‌گيريم:
اكنون در رابطهي 21 جمله‌ها را با تركيب جمله‌هاي اول، دوم و ... مجدداً طبقه‌بندي مي‌كنيم؛ در اين صورت خواهيم داشت:
بدين‌ترتيب رابطهي 19 به‌دست مي‌آيد.
بسط دهدهي يك عدد «گنگ»، دنباله‌اي آشنا از تقريب‌هاي گوياي آن است. به‌عنوان مثال: عدد «پي» - كه عددي «گنگ» است - را مي‌توان به‌صورت ذيل نوشت:
مي‌توانيم دنباله‌اي با تقريب هرچه بيش‌تر از عدد را معرفي كنيم. مي‌توانيم «كيفيت» دنباله‌ي مذكور را با ياداوري رابطهي ذيل اندازه بگيريم:
بدين‌ترتيب خطاي محاسبه در مقسوم‌عليه كسر كم‌تر از «يك» خواهد بود. به‌طور مشابه عدد گنگي نظير: را به‌طور تقريبي - با همان دقتي كه در محاسبه‌ي عدد وجود دارد - با دنباله‌اي از اعداد نظير ذيل مي‌توان بيان كرد:
مشاهده‌ي روابطي نظير: 23 و 25 رياضيدانان را به طبقه‌بندي اعداد «گنگ» واداشته است؛ به‌عبارت ديگر، اعداد «گنگ» را با توجه به چگونگي سختي محاسبهاشان از طريق «تقريب» با اعداد «گويا» طبقه‌بندي كرده‌اند. به‌عبارت ديگر يك عدد «گنگ» از عدد «گنگ» ديگر گنگتر است! براي به‌دست آوردن «ملاك تقريب» از حقيقت ذيل استفاده مي‌كنيم: «هر عددي داراي تقريب‌هاي «گوياي» بي‌نهايتي به‌شكل است كه در آن، تقريب داراي خطايي كم‌تر از است». گزاره‌ي بالا «قضيه‌ي هورويتز» (Hurwitz' Theorem) ناميده مي‌شود. بنابراين «ملاك تقريب» برحسب اين‌كه چقدر از كم‌تر است به‌دست مي‌آيد. در مقام مقايسه، عدد داراي «تقريب» بهتري نسبت به عدد است. بنابراين «گنگتر» از عدد است (جدول 1).
گنگ‌ترين عدد «گنگ» عددي است كه قبلاً در هندسه شناخته شده است. اين عدد عبارت است از:
عدد «گنگ» عبارت است از: «قطر يك پنج‌ضلعي با اضلاع برابر 1». اين عدد - كه به «عدد طلايي» (Golden Mean) شهرت يافته است - نقش مهمي در مبحث «زيباشناسي رياضي» (Mathematical Aesthetics) دارد. گنگي بسيار بالاي اين عدد، باعث كاربردش در كاربردهاي هنري است كه هنوز علت آن مشخص نشده است. عدد «طلايي» (Golden Mean) جواب معادله‌ي ذيل است:
اين عدد را مي‌توان با بسط ساده‌ي نامتناهي ذيل نشان داد:
تقريب‌هاي عدد «طلايي» (Golden Mean) عبارت‌اند از:
كه همان نسبت‌هاي توالي‌اي از اعداد «فيبوناچي» (Fibonacci) محسوب مي‌شوند. سؤالي كه مطرح مي‌شود آن است كه تقريب‌هاي عدد «طلايي» (Golden Mean) چگونه است؟ براي پاسخ به اين سؤال، چند عدد مربوط به نسبت در جدول 2 بيان شده است.
«قضيه‌ي هورويتز» (Hurwitz' Theorem) وجود نامحدود تقريب‌هاي را تضمين مي‌كند. در اين حالت همان‌طور كه در جدول 2 مشاهده مي‌شود، تقريب‌هاي «فرد» را بايد رها كرد و تقريب‌هاي «زوج» نيز بد و بدتر مي‌شوند. در واقع جدول 2 شاهدي است بر اين مدعا كه در «قضيه‌ي هورويتز» (Hurwitz' Theorem) نمي‌تواند اصلاح شود!! بنابراين عدد «طلايي» (Golden Mean) نمي‌تواند داراي تقريب نسبي بهتر از 7/22 براي عدد و حتي بهتر از 5/7 براي عدد باشد.
رديابي رشد شاخك‌هاي ميوه‌ي كاج نشان مي‌دهد آنها يكي‌يكي از قسمت پاييني اضافه مي‌شوند. زاويه‌ي بين يك شاخك با ديگري هميشه يكسان است! اين فرض معقول است كه معمولاً مؤثرترين فشردگي زماني اتفاق بيافتد كه اين زاويه تا آنجا كه ممكن است عددي «گنگ» باشد؛ به‌همين خاطر است كه در طبيعت، زاويه‌هاي «گنگ» فراوان ديده مي‌شود. شكل ساده‌اي از اين حقيقت در فشردگي مثلث‌ها حول يك استوانه مشاهده مي‌شود (شكل 5). در شكل 5 استوانه‌هاي مورد نظر، برش خورده و گسترده شده‌اند. آنها به‌گونه‌اي درنظر گرفته شده‌اند كه محيط‌شان برابر عدد 1 باشد. مختصات افقي (محور ) هر مثلث جديد به‌گونه‌اي در نظر گرفته شده كه در فواصل مساوي در سمت راست ديگري قرار گرفته باشد. هم‌چنين مثلث‌هاي جديد به‌گونه‌اي قرار گرفته‌اند كه هميشه زوايا به‌پيمانه‌ي 1 كاهش مي‌يابد.
تعريف عدد گنگ e كار ساده‌اي نيست. مي‌توان تعاريفي نظير ذيل را براي آن بيان كرد:
ياداوري 1 - همان‌طور كه مي‌دانيم «جان نپر» (John Napier) رياضيداني بود كه «لگاريتم» را معرفي كرد. ياداوري 2 – عدد گنگ e را نبايد با «عدد ثابت اويلر» (Euler's Constant) - كه به‌صورت ذيل تعريف مي‌شود - اشتباه گرفت:
از آن‌جايي كه e عددي «گنگ» است ارقام آن نامحدود بوده و تكرار نيز نمي‌شود. عدد e يكي از مهم‌ترين اعداد در رياضيات است.
«اويلر» (Euler) ثابت كرد e عددي «گنگ» بوده و داراي «كسرهاي مسلسل» نامحدود ساده است:
ياداوري 3 – به‌طور كلي منظور از «كسر مسلسل» رابطهي ذيل است:
پس از آن «چارلز هرميت» (Charles Hermite) در سال 1252 (1873 ميلادي) ثابت كرد عدد «گنگ» e عددي «غيرجبري» (Transcendental) است. اما به هر حال e كوچك‌ترين عدد «غيرجبري» ممكن با «اندازه‌ي ناگويايي» (Irrationality Measure) ذيل است:
(رابطهي 40) (رابطهي 40) (رابطهي 40) «جاناتان ساندو» (Jonathan Sondow) داد اگر و هر عدد صحيحي باشند به‌گونه‌اي كه داشته باشيم: آنگاه خواهيم داشت:
حالت خاصي از «فرمول اويلر» (Euler Formula) به‌صورت رابطهي ذيل بيان مي‌شود:
وقتي باشد رابطهي 43 به‌صورت رابطهي زيباي ذيل درمي‌آيد:
«كارل داگلاس الدز» (Carl Douglas Olds) در سال 1342 (1963 ميلادي) رابطه‌هاي ذيل را براي e بيان كرد:
(رابطهي 45)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
پدافند غیر عامل چیست؟